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除特别说明以外，所有题目均由本人写过。

180916-1

证明：

$$\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2/2}\cos(s+tx)\,\mathrm{d}x=\sqrt{2\pi}e^{-t^2/2}\cos s$$

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180917-1

证明：

$\int_0^\infty \frac{\sin bx}{x^p}\,\mathrm{d}x=\frac{b^{p-1}}{2\Gamma(p)\sin(\frac{p\pi}{2})}$

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180918-1

设 $\phi_j(x)=x^j-x^{j+1}$ ，求：

$$\int_0^1\phi_i'(x)\phi_j'(x)+\phi_i(x)\phi_j(x)\,\mathrm{d}x$$

180918-2

设 $f(x)\in C^1[a,b]$ 且 $f’(x)>0$ ，证明存在 $\xi,\eta$ 使得： 证明可能存在不同的 $\xi,\eta$ 使得：

$$\frac{f'(\xi)f(\eta)}{f'(\eta)}=\frac{1}{b-a}\int_a^bf(x)\,\mathrm{d}x$$

ans. 设：

$$F(x)=\int_a^xf(x)\,\mathrm{d}x,G(x)=f(x)$$

利用 Cauchy 中值定理有：

$$\frac{\int_a^bf(x)\,\mathrm{d}x}{f(b)-f(a)}=\frac{f(\eta)}{f'(\eta)}=\frac{\int_a^bf(x)\,\mathrm{d}x}{f'(\xi)(b-a)}$$

其中第二个等号由于对分母利用了 Lagrange 中值定理。

整理上面的式子即证。

180918-3

1. 已知点 $v_1(x_1),v_2(x_2)$ 求过这两点的直线方程。
2. 已知点 $v_1(x_1),v_2(x_2),v_3(x_3)$ 求过这三个点的抛物线方程。

180918-4

证明：

$$\sum_{i=1}^m\sum_{j=i}^ma_{ij}=\sum_{j=1}^m\sum_{i=1}^ja_{ij}$$

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180919-1

已知向量 $\mathbb{a,b,c}$ 同一个端点不同方向，且以逆时针顺序。求证明以 $\mathbb{a,b,c}$ 为三边的平行六面体的体积为 $\mathbb{a}\times\mathbb{b}\cdot \mathbb{c}$。

180919-2

求证平面上的三点 $v_1(x_1,y_1),v_2(x_2,y_2),v_3(x_3,y_3)$ 构成的三角形的面积为：

$$\begin{vmatrix}x_1 &y_1 &1\\\\ x_2 &y_2 &1\\\\ x_3 &y_3 &1\end{vmatrix}$$

180919-3

平面上三点 $v_1(x_1,y_1),v_2(x_2,y_2),v_3(x_3,y_3)$ ，对应的值为 $w_1,w_2,w_3$ 求证过空间中这三个点的平面方程为：

$$v(x,y)=w_1N_1(x,y)+w_2N_2(x,y)+w_3N_3(x,y)$$

其中 $N_1(x,y)=\begin{vmatrix}x &y &1\\\\ x_2 &y_2 &1\\\\ x_3 &y_3 &1\end{vmatrix}/2s$

$N_2(x,y)=\begin{vmatrix}x_1 &y_1 &1\\\\ x &y &1\\\\ x_3 &y_3 &1\end{vmatrix}/2s$

$N_3(x,y)=\begin{vmatrix}x_1 &y_1 &1\\\\ x_2 &y_2 &1\\\\ x &y &1\end{vmatrix}/2s$

$s$ 为平面三角形 $v_1v_2v_3$ 所围成的面积。

180919-4

把 180919-3 中的结果直接展开，化简。

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180920-1

1. 展开并化简按 $x$ 的幂次排列：

$$(a_1x^3+b_1x^2+c_1x+d_1)(3x^2+2x-1)(1-x)$$

1. 展开并合并同类项：

$$(x^2-\frac{1}{2x})^4(\frac{1}{x^3}-1)^2$$

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180921-1

证明下列不等式并说出不等式的名字：

$$\left(\int_{\Omega}f\cdot g\,\mathrm{d}x\right)^2\le \int_{\Omega}f^2\,\mathrm{d}x\int_{\Omega}g^2\,\mathrm{d}x$$

180921-2

将下列线性方程组写成矩阵 $Au=b$ 的形式：

$$\begin{align}&u_{k-1,l}+u_{k+1,l}+u_{k,l+1}+u_{k,l-1}-4u_{k,l}=0\\\\ &u_{k,0}=u_{k,m+1}=u_{0,l}=u_{m+1,l}=0,1\le k,l\le m\end{align}$$

其中取 $u=(u_{1,1},u_{1,2},…u_{2,1},u_{2,2},…u_{m,1},u_{m,m})^T$

180921-3

求上述矩阵 $A$ 的特征值。

提示：
特征向量为：

$$v_{k,l}=\sin(\frac{k\alpha \pi}{m+1})\sin(\frac{l\beta \pi}{m+1}),k,l=0,1,2...m+1$$

180921-4

排列阵为正交矩阵。

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排列阵定义：每行每列仅有一个元素为 1 ，其余为 0 的矩阵。

180921-5

在 180921-2 中取 $u=(u_{k_1,l_1},u_{k_2,l_2},…u_{k_{m^2},l_{m^2}})^T$

其中 $u$ 为原来的 $u$ 的任意一个排列。

分析此时 $A$ 是否为对称矩阵？正定矩阵？

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猜测的答案：不对称，正定。
已证明正定。

180922-1

设：

$$|\lambda-a_{ii}|\ge\sum_{j\ne i}|a_{ij}|,\text{ for } i=1,2...n$$

其中 $\lambda$ 为 $A=(a_{ij})$ 的特征值 ， $x=(x_1,…x_n)$ 为特征向量，且 $x_p$ 为绝对值最大的一项。
若存在 $l$ 使得 $a_{pl}\ne 0$ 证明 $|x_l|=|x_p|$

180922-2

$n$ 阶矩阵 $A$ 的所有元素非零，且 $A$ 对角占优，若 $|a_{ii}|>\sum_{j\ne i}|a_{ij}|$ 对某一 $j$ 成立，证明 $A$ 非奇异。

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180923-1

$u$ 为 $[0,1]\times [1,2]$ 上的函数，验证条件

$$u(x,1)=\ln(x^2+1),u(x,2)=\ln(x^2+4),u(0,y)=2\ln y,u(1,y)=\ln(y^2+1)$$

相容，并指出 $u$ 在区域上的函数表达式。

180923-2

叙述并证明 Cramer 法则

180923-3

证明 $f=x^4+4x-3$ 在 $\mathbb{Q}$ 上不可约

180923-4

求 Vandermonder 行列式

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180924-1

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感受数学的冷漠
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定义 $\delta_x^2 u_{ij}=\frac{1}{h_1^2}(u_{i-1,j}-2u_{ij}+u_{i+1,j})$

$\delta_y^2 u_{ij}=\frac{1}{h_2^2}(u_{i,j-1}-2u_{ij}+u_{i,j+1})$

$D_xu_{ij}=\frac{1}{h_1}(u_{i+1,j}-u_{ij})$

$D_yu_{ij}=\frac{1}{h_2}(u_{i,j+1}-u_{ij})$

$D_{\bar{x}}u_{ij}=\frac{1}{h_1}(u_{i,j}-u_{i-1,j})$

$D_{\bar{y}}u_{ij}=\frac{1}{h_2}(u_{i,j}-u_{i,j-1})$

展开并化简下面方程组，其中 $\psi,\lambda,f$ 为已知函数

$$\begin{align}-(\delta_x^2u_{ij}+\delta_y^2u_{ij})=f(x_i,y_j),1\le i\le m-1,1\le j\le n-1\end{align} \\\\ \frac{2}{h_1}(D_xu_{0j}+\psi_1(y_j)-\lambda_1(y_j)u_{0j})-\delta_y^2u_{0,j}=f(x_0,y_j),1\le j\le n-1\\\\ \frac{2}{h_1}(\psi_2(y_j)-\lambda_2(y_j)u_{mj}-D_{\bar{x}}u_{mj})-\delta_y^2u_{mj}=f(x_m,y_j),1\le j\le n-1\\\\ -\delta_x^2u_{i,0}-\frac{2}{h_2}(D_yu_{i0}+\psi_3(x_i)-\lambda_3(x_i)u_{i0})=f(x_i,y_0),1\le i\le m-1\\\\ -\delta_x^2u_{in}-\frac{2}{h_2}(\psi_4(x_i)-\lambda_4(x_i)u_{im}-D_{\bar{y}u_{in}})=f(x_i,y_n),1\le i\le m-1\\\\ -\frac{2}{h_1}(D_xu_{00}+\psi_1(y_0)-\lambda_1(y_0)u_{00})-\frac{2}{h_2}(D_yu_{00}+\psi_3(x_0)-\lambda_3(x_0)u_{00})=f(x_0,y_0)\\\\ -\frac{2}{h_1}(\psi_2(y_0)-\lambda_2(y_0)u_{m0}-D_{\bar{x}}u_{m0})-\frac{2}{h_2}(D_yu_{m0}+\psi_3(x_m)-\lambda_3(x_m)u_{m0})=f(x_m,y_0)\\\\ -\frac{2}{h_1}(D_xu_{0n}+\psi_1(y_n)-\lambda_1(y_n)u_{0n})-\frac{2}{h_2}(\psi_4(x_0)-\lambda_4(x_0)u_{0n}-D_{\bar{y}}u_{0n})=f(x_0,y_n) \\\\ -\frac{2}{h_1}(\psi_2(y_n)-\lambda_2(y_n)u_{mn}-D_{\bar{x}}u_{mn})-\frac{2}{h_2}(\psi_4(x_n)-\lambda_4(x_m)u_{mn}-D_{\bar{y}u_{mn}})=f(x_m,y_n)$$

180925-1

$f(x)$ 为偶函数，证明 $f(x)$ 在 $0$ 点处展开无奇数次项。

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181202

证明序列 $\left(\frac{1}{n}(\sin{\theta}+\sin{2\theta}+…+\sin{n\theta})\right)_1^\infty$ 依 $L^2[0,2\pi]$ 范数收敛于0

ans. 考虑

$$\begin{align} \int_0^{2\pi}\left(\frac{1}{n}(\sin{\theta}+\sin{2\theta}+...+\sin{n\theta})\right)^2\,\mathrm{d}\theta&=\int_0^{2\pi}\frac{1}{n^2}(\sin^2\theta+...+\sin^2{n\theta})\,\mathrm{d}\theta \\&=\frac{1}{n^2}2\pi \frac{1}{2}\cdot n=\frac{\pi}{n}\to 0 \end{align}$$

v1.0
1. 增添180916,180917,180918

v1.1
1. 增添180919
2. 修改180918-2

v1.2
1. 增添180920
2. 补充180918-2的ans

v1.3
1. 增添180921
2. 补充180920的2：嫌1太简单了

v1.4
1. 增添180922，2题

v1.5
1. 增添180923，4题

v1.6
1. 增添180924， 一题（我是一个没有感情的杀手）
2. 修改一些无法避免的打字错误（2018年9月25日 13:49:56）

v1.7
1. 增添181202，一题加上ans