现代分析作业
190918-1
$(X,\mathcal{M},\mu)$为测度空间，$\{E_j\}_1^\infty \subset \mathcal{M}$，且$\mu(\cup_1^\infty E_j)<\infty$，若$\lim E_j$存在，则$\mu(\lim E_j)=\lim\mu(E_j)$
190918-2
设$(X,\mathcal{M},\mu)$为测度空间，$\mathcal{N}=\{N\in\mathcal{M}|\mu(N)=0\}$，$\overline{M}=\{E\cup F|E\in \mathcal{M},F\subset N\in\mathcal{N}\}$，则存在唯一测度$\mu$的延拓$\overline{\mu}$，使得$(X,\mathcal{M},\overline{\mu})$为完备的测度空间
190918-3
$\mathcal{A}$为$X$上的一个代数，$\mu:\mathcal{A}\to[0,\infty)$为其上的一个集函数，满足有限可加性。（显然有$\mu(\emptyset)=0$)。若$\forall A\in\mathcal{A},\mu$在$A$处下半连续或者$\mu$在$\emptyset$处上半连续，则$\mu$为$\mathcal{A}$上的一个预测度
190918-4
i 构造$\mathbb{R}$上的单调有界函数$f(x)$，使得其间断点在$\mathbb{R}$上稠密。
ii $\mathbb{R}$上的单增函数$f_1(x),f_2(x)$在$\mathbb{R}$的一个稠密子集$D$上相等，证明$f_1,f_2$具有相同的跳跃间断点和跃度，且除去跳跃间断点外函数值相等。
190925-1
$\mathcal{M}$为$\mathcal{E}$生成的$\sigma-$代数，证明$\mathcal{M}=\bigcup\{\sigma(F)\mid F\text{为} \mathcal{E}\text{的可数子集}\}$
190925-2
$(\Omega,\mathcal{F},\mu)$为测度空间，$\forall E\in \Omega$，令$\mathcal{F}_E=\sigma(F\cup{E})$，证明存在$\mathcal{F}_E$上的测度$\nu$，使得$\nu|_\mathcal{F}=\mu$
190925-3
$(\Omega,\mathcal{M},\mu)$为测度空间，则任意$\sigma-$有限测度为半有限的(semifinite)
190925-4
$(X_n,\mathcal{A}_n,\mu_n)_{n=1}^\infty$为测度空间列，$X_n$两两不交，定义$X=\bigcup_{n=1}^\infty X_n$，
$\mathcal{A}=\{E\in X\mid E\cap X_n\in \mathcal{A}_n,\forall n\},\mu(E)=\sum_{n=1}^\infty \mu_n(E\cap X_n)$，
则$(X,\mathcal{A},\mu)$构成一个测度空间，且当$\mu_n$均为$\sigma-$有限的时候，$\mu$也是$\sigma-$有限的。
190925-5*
$\mathcal{M}$为无限的$\sigma-$代数，证明$\card{\mathcal{M}}>\aleph_0$
190930-1
$G$为开集，证明$\chi_G(x)$为下半连续(lower semicontinous)函数
190930-2
$f_n$依测度收敛于$f$，且$f_n,f\in L^1(\Omega),\lim\int|f_n|=\int |f|$，证明$f_n\to f \in L^1$
190930-3
$f_n \stackrel{\mu}{\to} f$，且$|f_n|\le g\in L^1$，则$f_n\stackrel{L^1}{\to} f$
190930-4
证明Egorff theorem
190939-5*
$f_n\stackrel{a.e.}{\to} f, \int|f_n|^p\,\mathrm{d}x\le C$
，其中$0<p<\infty,C$为某一常数，则